ここでは、2つの別々のクエリを実行する必要があると思います。これは、MongoDBクエリパーサーが処理するには条件が大きすぎます。
したがって、ロジックを2つの別々のクエリに入れ、2番目のクエリは次のようにする必要があります。
$db->akis->update(
array("h" => (string) $_SESSION["_id"], "m" => array('$exists' => true)),
array('$set' => array("i" => $name)),
array("multiple" => true)
);
次々と実行します。