Javaを使用してこのMongoDBクエリを実行するにはどうすればよいですか？

理想的には、mongoDBクエリは次のようになります。-

db.yourCollection.find({"startDate": {$lt: endDate}})

これは次のようにJavaで記述できます：-

BasicDBObject query = new BasicDBObject("startDate", new BasicDBObject("$lt", endDate);
DBCursor cursor = coll.find(query);

公式チュートリアル をご覧ください。

QueryBuilder を使用する場合 、次のように実行できます：-

DBObject query = QueryBuilder.start("startDate").lessThan("endDate").get();
DBCursor cursor = coll.find(query);