私も同様の問題を抱えていました。最初はredis-togoを使っていましたが、問題ありません。しかし、redis-togoからHeroku redisに変更した後、「ERR最大クライアント数に達しました」というエラーが発生しました。
私のアプリのコードは変更されていません。redisプロバイダーの変更のみが変更されました。
Herokuサポートでチケットを開いたところ、タイムアウト値のデフォルト設定を変更するようにアドバイスされました。
https://devcenter.heroku.com/articles/heroku-redis#configuring-your-instance
Heroku redisのデフォルトのタイムアウト値を変更した後、すべてが解決されました。redisのタイムアウトのデフォルト値は、redisプロバイダーによって異なると思います。 Herokuredisのデフォルト設定は0です。「ゼロの値は接続が閉じられないことを意味します。」
私の経験がお役に立てば幸いです。