で非オブジェクトのプロパティを取得しようとしています

mysql_fetch_object()のマニュアルを確認してください 。オブジェクトの配列ではなく、オブジェクトを返します。

このようなものが欲しいと思います

$results = mysql_query("SELECT * FROM sidemenu WHERE `menu_id`='".$menu."' ORDER BY `id` ASC LIMIT 1", $con);

$sidemenus = array();
while ($sidemenu = mysql_fetch_object($results)) {
    $sidemenus[] = $sidemenu;
}

PDOをご覧になることをお勧めします。 PDOStatement::fetchAll(PDO::FETCH_OBJ) mysql_fetch_object()で想定したことを実行します やるべきこと