MySQL接続文字列をApp.configに保存する場合、providerNameプロパティをどの値に設定する必要がありますか？

これを試してください：

<connectionStrings>
<add name="MySQL" connectionString="SERVER=8.8.8.8; DATABASE=foo; UID=bar; PASSWORD=foobar" providerName="MySql.Data.MySqlClient" />
</connectionStrings>