1つのphpページで2つのSQLクエリを実行する（SET + SELECT）

これらは2つの別々のクエリです。それらを連結することはできません。個別に実行する必要があります。

<?php

// Show current month
include 'conection.php';
                      
$sql = "SET lc_time_names = 'pt_BR'";
mysqli_query($conexao, $sql);

$sql = "SELECT MONTHNAME(CURDATE()) AS `Mes` FROM trabalho_v2";
$busca = mysqli_query($conexao, $sql);
$dados = mysqli_fetch_array($busca);
$mes = $dados['Mes'];

また、OOスタイルを使用することを強くお勧めします：

<?php

// Show current month
include 'conection.php';
                      
$sql = "SET lc_time_names = 'pt_BR'";
$conexao->query($sql);

$sql = "SELECT MONTHNAME(CURDATE()) AS `Mes` FROM trabalho_v2";
$busca = $conexao->query($sql);
$dados = $busca->fetch_array();
$mes = $dados['Mes'];