クラウドSQLインスタンス名を「ソケット」パラメータとしてMySQLiに渡す必要があります
$instance_name = ":/cloudsql/projectID:google-cloud-instance";
$c = new mysqli(null, $username, $password, $database, 0, $instance_name);
デフォルトの認証(アプリケーションレベルの認証)を使用している場合は、rootを渡すことができ、接続するパスワードはありません。
$instance_name = ":/cloudsql/projectID:google-cloud-instance";
$c = new mysqli(null, "root", "", $database, 0, $instance_name);