子クラスのコンストラクターは、PHPの親クラスのコンストラクターとどのように相互作用しますか？

子クラスのコンストラクターが他のことを行わない場合は、コンストラクターを省略できます。

以下だけで大丈夫です：

class CheckOut extends DB_MySQL{
}

ただし、子クラスのコンストラクターが他の作業を行う必要がある場合は、そうする必要があります。

class CheckOut extends DB_MySQL{

    public function __construct($dbuser, $dbpass, $dbhost, $dbname) 
    {
        parent::__construct($dbuser, $dbpass, $dbhost, $dbname);
        do_some_other_work();
    }
}

使用するときは、両方とも電話する必要があります：

$checkout = new CheckOut($dbuser, $dbpass, $dbhost, $dbname);