セキュリティグループは広く開かれているため、LANがポート3306のアウトバウンドトラフィックをブロックしていると思います。実際、このサポートページ（ http://docs.aws.amazon.com/AmazonRDS/latest/UserGuide/USER_ConnectToInstance.html ）ファイアウォールの問題は、接続できない一般的な理由で2番目にリストされています。
この質問はあなたを助けるかもしれません：MySqlネットワーキングの問題 。ローカルファイアウォールの設定を確認する価値があるかもしれません。あなたはラップトップを使用していると言っているので、現在のネットワークはパブリックネットワークとして分類されており、アウトバウンドポートはブロックされています（リンクした質問で述べたように）。
それでも問題が解決しない場合は、ポート3306でRDSインスタンスに電話をかけ、何が起こるかを確認する価値があります。これにより、問題の一般的なグーグルを回避するのに役立つデバッグ情報がさらに得られる可能性があります。
余談ですが、個人的にはRDSインスタンスをインターネットに直接公開することはありません。 SSHサーバーを介してトラフィックをRDSインスタンスに転送するためにsshトンネルを設定するのはかなり簡単です。ここに示されているもののようなもの： http://www.techrepublic.com/blog/linux-and-open-source/tips-and-tricks-to-help-you-do-more-with-openssh /
更新：「公開されている」オプションでRDSを使用したことはありません（すべてのセットアップでプライベートRDSインスタンスへのsshトンネリングを使用しました）。ぐるぐる回って、パブリックRDSインスタンスへのアクセスの問題に関連するAWSフォーラムでかなりの数のクエリに出くわしました。たとえば、 https://forums.aws.amazon.com/thread.jspa?threadID=123483 .RDSインスタンスを構成するサブネットのルートテーブルにエントリを明示的に作成するという提案された修正を試す価値があるかもしれませんか？