「友達の友達」SQLクエリ

直接の友達であるだけでなく、友達の友達でもある人を除外する必要があります。テーブルのエイリアスを再配置したので、（とにかく）何が取得されているかが少し明確になります：

SELECT
    u.*
FROM
    user u
    INNER JOIN friend ff ON u.user_id = ff.friend_id
    INNER JOIN friend f ON ff.user_id = f.friend_id
WHERE
    f.user_id = {$user_id}
    AND ff.friend_id NOT IN
    (SELECT friend_id FROM friend WHERE user_id = {$user_id})

また、照会されるユーザーIDを除外する必要がなくなります。