あなたの質問を見ると、あなたはそれが必要だと思います：
$query = "INSERT INTO tz_navbar (name) VALUES ('".$name."')";
それでも問題が解決しない場合は、$ _ REQUEST
の値をログに記録する必要があります。error_log(print_r($_REQUEST,true));
サーバー側で正しい値を取得していることを確認します。
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それでも問題が解決しない場合は、$ _ REQUEST
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サーバー側で正しい値を取得していることを確認します。