mySqlの新しいテーブルへの最初のwpdb挿入が機能していません

そのようにしてみてください：

$sql = $wpdb->prepare(
     "INSERT INTO `wp_branches` (`user_id`,`branchName`) values (%d,%s)", 
      $user_id, $bname);

$wpdb->query($sql);

これにより、「注射」からも保護されます。