問題は、mysql2の実行に必要な.dllファイルが利用できないため、有効なWin32アプリケーションとして認識されないことです。
から「mysql-connector-c-noinstall-6.0.2」をダウンロードします。公式リポジトリ 。登録を求められる場合がありますが、無料です。ダウンロードに移動し、「MySQLコネクタ=>コネクタ/ C（libmysql）」を選択します。
ダウンロードしたファイルを解凍し、libフォルダーにある「libmysql.dll」をRuby/binフォルダーにコピーします。