選択直後のPHPDELETE

$resultを上書きしています 2番目のステートメントの変数：

$query="DELETE FROM names WHERE id = $result[id];";
$result = mysql_query($query); // result does not contain the array anymore

名前を別の名前に変更します。参照による呼び出しなどとは何の関係もありません。

実際には、$rowのように、最初に値を割り当てる必要はありません。 すでに配列です：

$row = mysql_fetch_assoc($result);
$result = array();
$result["id"] = $row["id"];
$result["peerID"] = $row["peerID"];
$result["name"] = $row["name"];

あなたはただすることができます：

$row = mysql_fetch_assoc($result);
// at the end
return $row;

そうすれば、2番目のステートメントの変数名を変更する必要さえありません。ただし、意味のある変数名を使用することを検討してください。