グループ化を行う最大カウントの行を選択するにはどうすればよいですか？

group byで試すことができます およびhaving 条項：

select t.user_name, t.thread_id , count(*) as max_count
from tbl t
group by t.user_name, t.thread_id
having count(*) = ( select count(*) as ttl
                    from tbl
                    where thread_id = t.thread_id
                    group by user_name
                    order by ttl desc
                    limit 1 )