これを試して。サブクエリをJOINに移動すると、問題が解決するようです。問題は、WHERE句にサブクエリがあることに関係していると思います。 WHERE句では、レコードごとにサブクエリとRAND関数が実行されていると思います。これがおそらく結果が変化する理由です。
SELECT a.AlbumID,
Videos_Demo.VideoID,
VideosInAlbums_Demo.AlbumID
FROM VideosInAlbums_Demo
LEFT JOIN Videos_Demo
ON Videos_Demo.VideoID = VideosInAlbums_Demo.VideoID
JOIN
(
SELECT AlbumID
FROM VideosInAlbums_Demo
WHERE VideoID = '1'
ORDER BY RAND()
LIMIT 1
) AS a ON VideosInAlbums_Demo.AlbumID = a.AlbumID