Nodejsノード-mysqlモジュールがデータベースに接続していません

ソケットパスを設定する必要があります。

var mysql      = require('mysql');
var connection = mysql.createConnection({
    host     : 'localhost',
    user     : 'root',
    password : 'password',
    socketPath  : '/var/run/mysqld/mysqld.sock',
});