バージョン782であるため、データベースを開くことができません。このサーバーはバージョン706以前をサポートしています。ダウングレードパスはサポートされていません

ツールを変更してみてください>オプション>データベースツール>データ接続> SQLServerインスタンス名 。

VS2013のデフォルトは(LocalDB)\v11.0です。 。

(LocalDB)\MSSQLLocalDBに変更します たとえば、動作しているようです。バージョン782のエラーはもうありません。