「頭を何度も叩き、 『何を考えていたの？』と言った」
新しい接続を作成し、それを使用してサーバーに接続しました。ただし、実際のバックアップステートメントでは、接続が確立された$smoサーバーオブジェクトの代わりに$server（サーバー名）が使用されます。その結果、バックアップステートメントは、デフォルトのステートメントタイムアウトをリセットするために、接続属性のないまったく新しい接続を実際に確立します。
バックアップステートメントを
に変更する$dbbk.SqlBackupAsync($smo)
問題を修正します。