リンクされたサーバー間でのデータのアーカイブ - トランザクションの問題

XACT_ABORT を設定してみましたか? スクリプトの開始時にオンにしますか?

SET XACT_ABORT ON

無関係ですが、ループを次のように書くことはできません:

-- Continue looping while rows exist
WHILE EXISTS (SELECT 1 FROM [LINKEDSERVER].MasterDatabase.dbo.Logging WITH(NOLOCK) 
              WHERE [Date] < @ArchiveDate)

または、ループの反復ごとにリンクされたテーブルを 2 回ヒットしないように書き直してください。