日付がmysqlに送信されていません

クエリの日付フィールドの周りにチェックマークを追加してみてください。入力がY-m-d形式であることが確実であれば、問題はおそらく修正されます：

$date = date("Y-m-d", strtotime($_POST['date']));
$result = mysqli_query($link,"INSERT INTO visit_exclude_dates (date) VALUES ('{$date}')");

if(!$result) {
    echo "Error: " . $link->error);
    die();
}

$result->close();
$link->close();