それは次のようにする必要があります：
db.users.find({"name": /.*m.*/})
または、同様：
db.users.find({"name": /m/})
どこかに「m」が含まれているものを探しています（SQLの'% '演算子は正規表現と同等です''.* '）、文字列の先頭に「m」が固定されているものではありません。
注： MongoDBは、SQLの「LIKE」よりも強力な正規表現を使用します。正規表現を使用すると、想像する任意のパターンを作成できます。
正規表現の詳細については、正規表現を参照してください。 （MDN）。