正規表現MongoDBC＃ドライバーでフィルター処理

Builders.Filter.Regexを使用できます 。

public async Task<Entity> GetEntityIdByOriginalEmail(string originalEmail)
{
    var collection = GetCollection();
    var filter = Builders<Entity>.Filter.Regex("x", new BsonRegularExpression(originalEmail, "i"));
    return await collection.Find(filter).FirstOrDefaultAsync();
}