公式のmongoイメージは、docker-composeで使用できる次の環境変数を以下のようにサポートするようになりました。
environment:
- MONGO_INITDB_ROOT_USERNAME=user
- MONGO_INITDB_ROOT_PASSWORD=password
- MONGO_INITDB_DATABASE=test
詳細については、https：//stackoverflow.com/a/42917632/1069610
をご覧ください。