MongoDBのオブジェクトの配列から一致するすべてのアイテムを取得するにはどうすればよいですか？

集計を使用できます：

db.collection.aggregate([
{
    $unwind : "$tags"
},
{
    $match : {
        "tags.type" : "Sports"
    }
},
{
    $group : {
        _id : "$_id",
        tags : {$addToSet : "$tags"}
    }
}
])