C＃を使用して既存の埋め込みドキュメントにドキュメントを挿入するにはどうすればよいですか？

これは機能します。プッシュの使用に注意してください。それ以外は、上記の設定されたアプローチと同じです（3番目の更新を参照）

var update = Builders<Customer>.Update.Push("Invoices", new Invoice
            {
                ClientName = "HELLO"
            });

var result = collection.UpdateOneAsync(filter, update);