申し訳ありませんが、解決しました。
問題は、スキーマを宣言する順序です。
この変更を試してみればうまくいきました。
/* first, children's schema */
var ChildSchema = new Schema({
name: String,
}, {_id: false});
/* seconds, parent's schema */
var UserSchema = new Schema({
name: String,
children: [ChildSchema],
});