Meanスタックを使用してmongoコレクションにデータを投稿するにはどうすればよいですか？

角度エラースタックトレースは非常に明確です。
エクスプレスルーターでPOSTクエリのこの特定のエンドポイントを処理しません。

そのため、サーバーは404エラーをスローします 、そうあるべきです。

次のようなものを試してください：

router
    .post('/api/users', function (req, res) {
       // do what you want with your user here
    })

Express（およびNodeJS）では、サーバーリソースへの各アクセスを明示的に指定する必要があります。

ちなみに、あなたはこれにかなり近いですが、保守性のためにアプリケーションロジックをシンプルに保つようにしてください。