ES6テンプレート文字列を含むMongoDBオブジェクトキー

テンプレートリテラルは、オブジェクトリテラルのキーとして使用できません。代わりに計算されたプロパティを使用してください：

db.collection('connect').update({_id: id}, {$push: {[str]: item}}); 
//                                                  ^^^^^

JavaScriptオブジェクトリテラルのキーに変数を使用する も参照してください。