テンプレートリテラルは、オブジェクトリテラルのキーとして使用できません。代わりに計算されたプロパティを使用してください:
db.collection('connect').update({_id: id}, {$push: {[str]: item}});
// ^^^^^
JavaScriptオブジェクトリテラルのキーに変数を使用する も参照してください。
テンプレートリテラルは、オブジェクトリテラルのキーとして使用できません。代わりに計算されたプロパティを使用してください:
db.collection('connect').update({_id: id}, {$push: {[str]: item}});
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JavaScriptオブジェクトリテラルのキーに変数を使用する も参照してください。