client_identifierセッション変数を使用して、アプリケーションユーザーをトリガーに渡すことができます。
次のようにデータベースに接続した後に設定します:
CALL dbms_session.set_identifier('<<username>>');
トリガー内で取得します:
SELECT sys_context('USERENV','CLIENT_IDENTIFIER') INTO username FROM DUAL;
詳細については、Oracleドキュメントをご覧ください