Laravel-5'LIKE'相当（Eloquent）

データベースで何が実行されているかを確認するには、dd(DB::getQueryLog())を使用します。 実行されたクエリを確認します。

これを試してください

BookingDates::where('email', Input::get('email'))
    ->orWhere('name', 'like', '%' . Input::get('name') . '%')->get();