MySQL UPDATE（PHP / MySQL）での変数の使用

$query = mysql_query("UPDATE article set com_count = $comments_count WHERE article_id = $art_id");

あなたは引用符と連結を台無しにしていました。

前の例のようにインライン変数を使用することも、次のように連結することもできます：

$query = mysql_query("UPDATE article set com_count = " . $comments_count . " WHERE article_id = " . $art_id);