行の位置が含まれるように列を更新しています

これはうまくいくはずです

update 
content,
(
  select 
  @row_number:=ifnull(@row_number, 0)+1 as new_position,
  ContentID 
  from content
  where CategoryID=1
  order by position
) as table_position
set position=table_position.new_position
where table_position.ContentID=content.ContentID;

しかし、私はこれを最初に、未設定のユーザー定義変数に適用したいと思います

set @row_number:=0;

Mchlによる追加：

このような1つのステートメントでそれを行うことができます

update 
content,
(
  select 
  @row_number:=ifnull(@row_number, 0)+1 as new_position,
  ContentID 
  from content
  where CategoryID=1
  order by position
) as table_position,
(
  select @row_number:=0
) as rowNumberInit
set position=table_position.new_position
where table_position.ContentID=content.ContentID;