以下を使用してください：
WHERE CONCAT(customers.first_name, ' ', customers.last_name) LIKE '%John Smith%'
これが意図したとおりに機能するためには、名と姓をトリミングする必要があることに注意してください。つまり、先頭または末尾に空白を含めないでください。データベースに挿入する前に、PHPで文字列をトリミングすることをお勧めします。ただし、次のようにトリミングをクエリに組み込むこともできます。
WHERE CONCAT(TRIM(customers.first_name), ' ', TRIM(customers.last_name)) LIKE '%John Smith%'