MySQLは、比較のために、先月から（now（）-1か月）までのすべての行を選択します

前月のlast_dayを計算し、1日を加算することで、月の最初を取得できます。厄介ですが、日付を文字列としてフォーマットして計算に使用するよりも良いと思います。

select 
  *
from
  yourtable t
where
  /* Greater or equal to the start of last month */
  t.date >= DATE_ADD(LAST_DAY(DATE_SUB(NOW(), INTERVAL 2 MONTH)), INTERVAL 1 DAY) and
  /* Smaller or equal than one month ago */
  t.date <= DATE_SUB(NOW(), INTERVAL 1 MONTH)