単純なAjaxJqueryスクリプト-テーブルの各行の情報を取得するにはどうすればよいですか？

古いMySQL拡張機能mysql 古くなっているので、mysqliを使用することをお勧めします またはPDO ！

mysql_fetch_row() 1行のみを返します！ループに入れる必要があります。例：

$data = array();
while ( $row = mysql_fetch_row($result) )
{
  $data[] = $row;
}
echo json_encode( $data );

JavaScriptも変更する必要があります：

$.ajax({                                      
  url: 'api.php', data: "", dataType: 'json',  success: function(rows)        
  {
    for (var i in rows)
    {
      var row = rows[i];          

      var id = row[0];
      var vname = row[1];
      $('#output').append("<b>id: </b>"+id+"<b> name: </b>"+vname)
                  .append("<hr />");
    } 
  } 
});

ちなみに、 mysql_fetch_assoc()を使用することをお勧めします。 コードがより柔軟でクリーンになるからです。