Laravel：json形式のデータをデータベースに保存する方法は？

配列データを自分でJSON文字列に変換する必要はありません。モデルで、Laravel$castsパラメーターを使用してください。 https://laravel.com/docs/5.2/eloquent-mutators#attribute-casting

Divモデルで次のようなことを行う必要があります：

protected $casts = [
    'divisions' => 'array',
];