どのOSを使用していますか？
とにかくubuntuを使用している場合 、この https://github.com/brianmario/mysql2/issues/8 > 実行：
sudo apt-get install mysql-client libmysqlclient-dev
それ以外の場合はMacユーザー 、（brewを使用してインストール）これを確認してください http://mxcl.github.com/homebrew/ > 、または実行：
brew install mysql
次に
sudo gem install mysql2
およびWindowsユーザーの場合 解決策については、以下のリンクを確認してください。 mysql2のインストールエラー：gemネイティブ拡張のビルドに失敗しました
通常のコマンドプロンプトを使用することをお勧めします。