MySQL-ネストされたselectがそのテーブルを使用しているときにテーブルから削除するにはどうすればよいですか？

おそらくこのエラーが発生しています：

ERROR 1093 (HY000): You can't specify target table 'table_1' for update in FROM clause.

これは、MySQLの複数テーブルDELETE 代わりに構文：

DELETE table_1.*
FROM   table_1,
       table_2,
       table_3
WHERE  table_1.id = table_2.table_1_id
AND    table_2.id = table_3.table_2_id
AND    table_3.id = 5

上記のクエリは機能するはずですが、原則として、代わりにANSIJOIN構文を使用することをお勧めします。

DELETE table_1.*
FROM   table_1
INNER JOIN table_2 on table_2.table_1_id = table_1.id
INNER JOIN table_3 on table_3.table_2_id = table_2.id
WHERE table_3.id = 5