2つのフィールドの値が同じであるレコードの作成を防ぐにはどうすればよいですか？

CREATE TRIGGER `nicknameCheck` BEFORE INSERT ON `people` FOR EACH ROW begin
  IF (new.first_name = new.nick_name) THEN
    SET new.nick_name = null;
  END IF;
END

または、first_nameをNULLに設定すると、SQLエラーが発生し、それを処理して警告を表示できます。