クラスDatabaseのオブジェクトを文字列に変換できませんでした

エラーはここにあるようです：

echo "<tr><td>".$epreuve->designation."</td>"
    .$module = $this->_db->get('module', array('epreuve_code', '=',

echoを閉じていないことに注意してくださいセミコロン付きで、$moduleの前にドットがありますそのため、PHPは、連結エコー文字列を$moduleクラスと連結内の反復で文字列化しようとしています。あなたはそれをすることはできません。

次の手順を実行します：

public function getModule() {
    $epreuve = $this->_db->get('epreuve', array('concour_code', '=', $this->data()->concour_code));

    foreach($epreuve->results() as $epreuve){
        echo "<tr>";
        echo "<td>".$epreuve->designation."</td>";
        $module = $this->_db->get('module', array('epreuve_code', '=', $epreuve->code ));              
        foreach($module->results() as $module){
            echo "<td>".$epreuve->designation."</td>";
        }
        echo "</tr>";
    }

}

提案：

あなたのコードについて

foreach($epreuve->results() as $epreuve){

AND

foreach($module->results() as $module){

反復しているものと同じ変数名を使用しないでください。

に変更してみてください

public function getModule() {
    $epreuve = $this->_db->get('epreuve', array('concour_code', '=', $this->data()->concour_code));

    foreach($epreuve->results() as $epreu){
        echo "<tr>";
        echo "<td>".$epreu->designation."</td>";
        $module = $this->_db->get('module', array('epreuve_code', '=', $epreu->code ));              
        foreach($module->results() as $mod){
            echo "<td>".$epreu->designation."</td>";
        }
        echo "</tr>";
    }
}

注：HTMLテーブルは、理解するために最善を尽くして少し面倒です。必要に応じて変更してください。