bashの警告出力を抑制します

mysql_tzinfo_to_sql /usr/share/zoneinfo 2>/dev/null | mysql -u root mysql

STDERRへのエラー出力を生成しているコマンドは最初のコマンドであり、2番目のコマンドではありません。 STDERRリダイレクトをパイプの前に置くと、問題が解決するはずです。