このクエリを最適化する方法（4 mmのテーブルが含まれます）

GROUP BYを取り除く必要があります ここ。

MySQL 最適化するのは得意ではありません。

クエリを次のように書き直します：

SELECT  *
FROM    product_table
WHERE   EXISTS
        (
        SELECT  NULL
        FROM    product_table__category_1__mm mm_1
        JOIN    category cat_1
        ON      cat_1.uid = mm_1.uid_foreign
        WHERE   mm_1.uid_local = product_table.uid
                AND mm_1.uid_foreign IN (7, 8)
        )
        AND
        …        

インデックスを作成します：

product_table__category_*__mm (uid_local, uid_foreign)

または、PRIMARY KEYsを宣言することをお勧めします product_table__category_*__mmに ：

ALTER TABLE product_table__category_*__mm ADD CONSTRAINT pk_pc*mm_local_foreign (uid_local, uid_foreign)