jqueryライブ関数を使用する場合、クリックイベント（div）のみを送信するにはどうすればよいですか？

ajax呼び出しをデバウンスする必要があります。最も簡単な方法は、doOnceを実行することです。

var doOnce = 1;
$(document).ready(function(){
    $(".box_content").live('click',function(e){                                    
        var element = $(this);
        var id = element.attr("id");
        var mem_email = $("#to_mem").val();
        var mem_firstName = $("#to_memfirstName").val();
        var happening_id = $("#happening_id<?php echo $id; ?>").val();
        var info = "id=" + id + '&mem_email=' + mem_email + '&mem_firstName=' + mem_firstName + '&happening_id=' + happening_id;            
        if(doOnce){
        doOnce--;
        $.ajax({
            type: "POST",
            url: "/happening_getMem_linkUP.php",
            data: info,
            cache: false,
            success: function(html){
                $("#now_from_linkup<?php echo $id; ?>").html(mem_firstName);
                doOnce++;
            }
        });
        }
        return false;
    });
}); 

doOnce trueで始まるため、ajaxが呼び出され、doOnce ajax呼び出しを無効にすると、falseになり、ajaxが成功を返すと、doOnce trueに戻され、再度実行できるようになります。

Ben Almanのスロットル＆デバウンスプラグイン を使用することもできます。