このクエリがSQLiteで機能しないのに、MySQLとMSAccessでは正常に機能するのはなぜですか？

SQLiteでは、 INTEGER PRIMARYKEY を使用して自動インクリメント列を取得します （そして、payers.idの実際の値に依存している場合 クエリでは、明示的に指定する必要があります。）

必要のないときに結合をネストしようとしないでください：

SELECT payer_payment.payer_id,
       Sum(payer_payment.amount)                             AS total_paid,
       Sum(payer_payment.pays * payments_share.single_share) AS fair_share
FROM       payers
INNER JOIN payer_payment
        ON payers.id = payer_payment.payer_id
INNER JOIN (SELECT payment_id,
                   Sum(amount) / Sum(pays) AS single_share
            FROM   payer_payment
            GROUP  BY payment_id) AS payments_share
        ON payer_payment.payment_id = payments_share.payment_id
WHERE payers.user_id = 1
GROUP BY payer_payment.payer_id;

SQLFiddle