PHPの検索結果は、1文字だけを指定すると異なる結果を出力します

SQLクエリは条件を適切にグループ化する必要があります

$query=mysql_query("select * from persons where status like 'found' and (firstname like '%$searchtext%' or lastname like '%$searchtext%') order by date desc LIMIT $start,$per_page ");

あなたがやっていたことは、コードで次のようなものと同等です：

if (status == 'found' && firstname like 'a')
{
    return row;
}
else if (lastname like 'a')
{
    return row;
}

これが表示された場合、最初の条件が失敗した場合は少し明確になる可能性があります（status == 'found'かどうかをチェックする唯一の条件） 次に、次の条件（ORステートメントの後）にスキップし、lastnameかどうかのみをチェックします。 一致します。

正しくチェックされるように、selectステートメントの条件をグループ化する必要があります：

...where status like 'found' and (firstname like '%$searchtext%' or lastname like '%$searchtext%') order by...

この場合、両方のfirstnameをグループ化します およびlastname OR条件全体が単一の真/偽の回答になるように（括弧内に）条件をまとめると、その回答がstatusに適用されます。 後で確認してください。