これが最適な答えではないことはわかっていますが、私にとっては、接続を3回閉じてから、再接続することでうまくいきました。
try:
connections.close_all()
except:
try:
connections.close_all()
except:
try:
connections.close_all()
except:
pass
また、settings.pyでCONN_MAX_AGEをNoneに設定しようとしましたが、機能しませんでした。