DataTableに加えた変更を、取得したテーブルにコミットするにはどうすればよいですか？

接続を開いたままにすることではなく、コマンドビルダーを使用するだけで、MySqlと同じだと思います。

private MySqlDataAdapter adapt;
private DataSet someDataSet;
someDataSet = new DataSet();

    public DataSet GetCustomerData(int customerId)
    {
        using(MySqlConnection connect = new MySqlConnection(ConnString))
        {
            connect.Open();
            MySqlCommand comm = new MySqlCommand("SELECT * FROM customers WHERE Id = @0", connect);
            someDataSet.Tables.Add("CustomersTable");
            comm.Parameters.AddWithValue("@0", customerId);
            adapt.SelectCommand = comm;
            adapt.Fill(someDataSet.Tables["CustomersTable"]);
        }

        return someDataSet;
   }

更新のために：新しいアダプタを使用することもできますが、コマンドビルダーが挿入、更新、および削除コマンドを実行することに基づいて、選択コマンドを指定する必要があります。

    public void UpdateTable(DataTable table, int customerId)
    {
        using (MySqlConnection connect = new MySqlConnection(ConnString))
        {
            connect.Open();
            MySqlCommandBuilder commbuilder = new MySqlCommandBuilder(adapt);
            adapt.SelectCommand = new MySqlCommand("SELECT * FROM customers WHERE Id = "+customerId, connect); //or use parameters.addwithvalue
            adapt.Update(table);
        }
    }