主キーで行を選択し、他の列で「上」に1行、「下」に1行を選択するにはどうすればよいですか？

まず、その特定のユーザーのスコアをクエリします。

select  score
from    users
where   id = 42

ユーザー42のスコアが6だとします。次に、次のように次のユーザーにクエリを実行できます。

select  name
,       score
from    users
where   score > 6
order by
        score
limit   1

前のユーザーは次のようになります：

select  name
,       score
from    users
where   score < 6
order by
        score desc
limit   1