あるMySQLテーブルから別のテーブルにデータを移動する

まず、括弧が1つ欠けていますが、この場合はまったく使用する必要がありません

クエリ文字列を

に変更します

Insert Into archived (select * from registrations WHERE id=$id)
                     ^                                        ^

または単に

Insert Into archived select * from registrations WHERE id=$id

これがSQLFiddle です。 デモ

次に、INSERT 結果セットを返さないため、mysql_fetch_array()を使用しないでください。。

第三に、あなたの意図が移動であった場合データをコピーするだけでなく、後でコピーした行も削除する必要があります。

これで、すべてをストアドプロシージャに入れることができます

DELIMITER $$
CREATE PROCEDURE move_to_archive(IN _id INT)
BEGIN
    START TRANSACTION;
    INSERT INTO archived 
    SELECT * 
      FROM registrations 
     WHERE id = _id;
    DELETE
      FROM registrations 
     WHERE id = _id;
    COMMIT;
END$$
DELIMITER ;

使用例：

CALL move_to_archive(2);

これがSQLFiddle です。 デモ